电磁学乱七八糟的符号(二)
前言:第五章开始因为要大量考虑介质的各种媒质常数,所以一定要分清公式的使用范围!
还有特定关系的前提和假设
[TOC]
chapter5电磁波的传播(TEM,理想介质)
波动方程
因为这里和上一篇blog有出入,重写一次:
$$\nabla^2 \vec E(\vec r,t)-\mu\varepsilon\frac{\partial^2\vec E(\vec r,t)}{\partial t^2}=- \mu\sigma \frac{\partial \vec E(\vec r,t)}{\partial t}$$
$$\nabla^2 \vec H(\vec r,t)-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 \vec H(\vec r,t)}{\partial t^2}=- \mu\sigma\frac{\partial \vec H(\vec r,t)}{\partial t}$$
由于$\partial E 和\partial H$极其难算,所以上式为一般波动方程
在理想介质中($\sigma=0$)(空气)下,一般波动方程退化为齐次非含源项波动方程:
$$\nabla^2 \vec E(\vec r,t)-\mu\varepsilon\frac{\partial^2\vec E(\vec r,t)}{\partial t^2}=0$$
$$\nabla^2 \vec H(\vec r,t)-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 \vec H(\vec r,t)}{\partial t^2}=0$$
在真空中有:
光速c
$$\nabla^2 \vec E(\vec r,t)-\frac1 {c^2}\frac{\partial^2\vec E(\vec r,t)}{\partial t^2}=0$$
$$\nabla^2 \vec H(\vec r,t)-\frac1 {c^2}\frac{\partial^2 \vec H(\vec r,t)}{\partial t^2}=0$$
其中光速c:
$$c=\frac1 {\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \approx 3 \times 10^{-8}(m/s)$$
取齐次非含源项波动方程复数化有:
波数&&相位常数k(同一个东西)
$$\nabla^2 \vec E(\vec r,t)-k^2\vec E(\vec r)=0$$
$$\nabla^2 \vec H(\vec r,t)-k^2\vec H(\vec r)=0$$
其中波数:
$$ k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}=\frac \omega v$$
由TEM的瞬时通解可以知道,k表示波传播单位距离的空间相位变化,又称相位常数:
$$k=\frac {2\pi}{\lambda}$$
TEM波动方程
引入平面电磁波(TEM)约束:
$$\begin{cases} E_z=0,H_z=0 \quad 在z=c处\ \frac \partial{\partial x}=0 ,\frac \partial{\partial y}=0
\end{cases}$$
代入波动方程可得到:
$$\frac {d^2 E_x}{dz^2}+k^2 E_x =0$$
$$\frac {d^2 H_y}{dz^2}+k^2 H_y =0$$
通解形式(瞬时):
$$E_x(z,t)=Re[E_x(z)e^{j\omega t}]=E^+_{x0} cos(\omega t -kz)$$
角频率$\omega$
角频率:$\omega$表示单位时间内时间相位变化
$$\omega T=2\pi \f=\frac1 T =\frac \omega{2\pi}$$
###相速$v_p$
相速$v_p$表示等相面移动的速度:
$$v_p=\frac {dz}{dt}=\frac \omega k = \frac1 {\sqrt{\mu \varepsilon}}$$
传播特性&&时均坡印亭矢量(计算用)
若已知E,求H,有:
$$E(z)=a_x E^+{x0}e^{-jkz}$$
$$H_y(z,t)=\frac 1\eta E^+{x0}cos(\omega t-kz) $$
所以同理,时均坡印亭矢量$S_{av}$可以写成:
$$S_{av}=\frac 12 Re(\vec E \times \vec H^*)=\vec a_z \frac1 {2\eta E_x^2}$$
波阻抗$\eta$
重写,$\eta$又称本征阻抗或特性阻抗,单位是$\Omega$
$$\eta=\sqrt{\frac \mu\varepsilon}$$
能速$v_e$
在均匀平面电磁波中有能速:
$$\frac {\vec S_{av}}{\omega_{av}}=\vec a_z \frac 1{\sqrt{\varepsilon\mu}} =v_e$$
其中$\omega_{av}$表示时均电磁能流密度,变形为$S_{av}=v_{av}\omega_{av}$则有:
空间某点的时均能流密度是以速度$v_e$运动的时均能量密度$\omega_{av}$,所以称$v_e$为能速
特别地,在理想介质中,$v_e=v_{p}$
平面电磁波,导电媒质
在这里考虑的重点在于$\sigma \neq 0$所以波动方程不能像上面一样化简
由于这一节概念多,会配以理解
TEM波动方程
回归最原始的波动方程:
$$\nabla^2 \vec E(\vec r,t)-\mu\varepsilon\frac{\partial^2\vec E(\vec r,t)}{\partial t^2}=- \mu\sigma \frac{\partial \vec E(\vec r,t)}{\partial t}$$
$$\nabla^2 \vec H(\vec r,t)-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 \vec H(\vec r,t)}{\partial t^2}=- \mu\sigma\frac{\partial \vec H(\vec r,t)}{\partial t}$$
用复数形式表示后,用类理想介质的齐次方程表示为:
$$\frac {d^2 E_x}{dz^2}+\vec k^2_c E_x =0$$
$$\frac {d^2 H_y}{dz^2}+\vec k^2_c H_y =0$$
注意到,因为右边的是一次项,微分下来会让k变成一个复数
复波数$k_c$&&复电容率$\varepsilon_c$
$$k_c=\omega \sqrt{\mu \varepsilon_c} , \varepsilon_c = (\varepsilon - j\frac \sigma\omega)=\varepsilon^` -j\varepsilon^{``}$$
由于复电容率的更新,导致理想介质中的很多参数都复数化了,所以会有新的拓展
复传播常数$\gamma$&&衰减常数$\alpha$&&相位常数$\beta$
$$\gamma=jk_c=\omega \sqrt{\mu \varepsilon_c}=\alpha +j\beta$$
其中:
$$\alpha=\omega\sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{2}[\sqrt{1+(\frac {\sigma}{\omega\varepsilon})^2}-1]}$$
$$\beta=\omega\sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{2}[\sqrt{1+(\frac {\sigma}{\omega\varepsilon})^2}+1]}$$
是有点复杂,但是到后面的良导体良介质会化简!
注意到这里的相位常数不再等于波数了.(虽然后面用起来还是很像的)
对于TEM来说,波动方程可退化为:
$$\frac {d^2 E_x}{dz^2}-\gamma^2 E_x =0$$
$$\frac {d^2 H_y}{dz^2}-\gamma^2 H_y =0$$
简单的微分方程求解得:
$$E(z)=\vec E^+{x0}e^{-\gamma z}=\vec E^+{x0}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}$$
$$H_y(z,t)=\frac 1\eta_c \vec E^+{x0}e^{-\gamma z}=\frac 1\eta_c \vec E^+{x0}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z} = \frac 1 {|\eta_c|} \vec E^+_{x0}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z+\phi} $$
复波阻抗&&复本征阻抗$\eta_c$
$$\eta_c=\sqrt{\frac \mu{\varepsilon_c}}=|\eta_c|e^{j\phi}$$
其中:
$$|\eta_c|=(\frac \mu\varepsilon)^{\frac 12}[1+(\frac {\sigma}{\omega \varepsilon})^2]^{- \frac14}$$
$$\phi=\frac 12 arctan(\frac \sigma{\omega\varepsilon})$$
相速$v_p$&&色散波
$$v_p=\frac \omega\beta=\frac1 {\varepsilon_c \mu}=\frac1 {\sqrt{\varepsilon \mu(1-j\frac {\sigma}{\omega\varepsilon})}}$$
可以看出这里的相速会和频率有关,所以这种波称为色散波,相应导电媒质称为色散媒质
良导体和良介质的判定
$$\frac{\vec J}{\vec J_d} \sim \frac{\sigma}{\omega\varepsilon} \begin{cases} \gg 1,\quad 良导体 \ \ll 1,\quad 良介质 \end{cases}$$
平面电磁波,良导体
传播常数$\gamma$
$$\gamma=jk_c=\sqrt{\varepsilon \mu(1-j\frac {\sigma}{\omega\varepsilon})} \approx j\omega\sqrt{\frac{\mu\sigma}{j\omega}}=\frac{1+j}{\sqrt2} \sqrt{\omega \mu\sigma}$$
衰减常数&&相位常数
$$\alpha \approx \beta \approx \sqrt{\pi f \mu\sigma}=\sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}}$$
复波阻抗
$$\eta_c =\sqrt{\frac \mu{\varepsilon_c}}=\sqrt{\frac \mu\varepsilon (\frac1 {1-j\frac \sigma{\omega\varepsilon}})} \approx \sqrt{\frac {j\omega\mu}{\sigma}}=(1+j)\sqrt{\frac {\pi f \mu}{\sigma}}=e^{j\frac\pi 4}\sqrt{\frac {2\pi f \mu}{\sigma}}$$
相速
$$v_p=\frac \omega\beta=\frac1{\sqrt{\mu{\varepsilon_c}}}=\frac1{\sqrt{\mu{\varepsilon}(1-j\frac{\sigma}{\omega\varepsilon})}} \approx \sqrt{\frac {2\omega}{\mu\sigma}}$$
趋肤深度$\delta$
由上述可知:
$$a\sim f,\mu,\sigma $$
所以在良导体中,电磁波很快就衰减完了,电磁波仅局限于道题表面附近区域,称为趋肤效应,故有趋肤深度$\delta$:
$$\delta =\frac1a =\sqrt{\frac2 {\omega\mu\sigma}}=\frac 1{\sqrt{\pi f \mu\sigma}} $$
在良导体中:
$$\delta=\frac1\beta=\frac\lambda {2\pi} $$
表面阻抗和表面电抗
$$ \eta_c=R_S+jX_S \approx (1+j)\sqrt{\frac {\pi f \mu}{\sigma}} $$
其中$R_S$表面阻抗 和$X_S$表面电抗,相应$Z_S$称为表面阻抗,所以有:
$$ R_S=X_S=\sqrt{\frac{\pi f \mu}{\sigma}}=\frac1{\sigma\delta} $$
平面电磁波,良介质
因为前面就讲过理想介质,所以这个没多少
传播常数
$$\gamma=\sqrt{\varepsilon \mu(1-j\frac {\sigma}{\omega\varepsilon})} \approx j\omega\sqrt{\mu\sigma}=(1-j\frac{\sigma}{2\omega\varepsilon})$$
衰减常数
$$ \alpha \approx \frac\sigma 2\sqrt{\frac \mu\varepsilon} $$
相位常数
$$\beta \approx \omega \sqrt{\mu\varepsilon}$$
复波阻抗
$$ \eta_c =\sqrt{\frac \mu{\varepsilon_c}}=\sqrt{\frac \mu\varepsilon (\frac1 {1-j\frac \sigma{\omega\varepsilon}})} \approx \sqrt{\frac\mu\varepsilon}(1+j\frac{\sigma}{2\omega\varepsilon}) $$
##任意方向传播的均匀平面电磁波
波数矢量&&位置矢量
$$\vec E(\vec r)=\vec E^+_0 e^{-j\vec k\bullet \vec r}=\vec E^+_0e^{-j k\vec a_n\bullet \vec r}$$
其中k为波数矢量,又称传播矢量,r称为位置矢量
平面电磁波,极化
以合成波电场强度与x轴夹角$\alpha$分类:
线极化波
$$ \alpha =arctan(\frac {E_{y0}}{E_{x0}})=C $$
圆极化波
$$ \alpha =arctan(\frac {E_{y0}}{E_{x0}})= arctan(\frac {\mp E_{0}sin\omega t}{E_{0}cos\omega t})=arctan(\mp tan\omega t)=\mp \omega t$$
椭圆极化波
$$ \alpha =arctan (\mp \frac {E_{y0}}{E_{x0}}tan \omega t) \neq \mp \omega t $$
方向用$\alpha$ 来判断也是可以的,在z正向下,$\alpha$为负右旋,为正左旋,其他类似没订阅就不写了……