电磁学乱七八糟的符号(四)
这里重点是一般传输规律和矩形波导,chapter6 电磁波的传输
[TOC]
纵向场量法
说白了也就是从麦克斯韦方程式抽象出我们需要的波动方程,流程如下:
矢量波动方程
在无源自由空间场量中(由麦克斯韦方程式):
$$ \nabla^2 \vec E+k^2\vec E=0 \tag{1.1} $$
$$ \nabla^2 \vec H+k^2\vec H=0 \tag{1.2}$$
在波导中,设电磁波沿着z轴传输:
$$ \vec E(x,y,z) = \vec E(x,y)e^{\gamma r } \tag{1.3}$$
$$ \vec H(x,y,z) = \vec H(x,y)e^{\gamma r } \tag{1.4}$$
其中有:
行波因子$\gamma$
在上一章说过他也是一个传播常数,当$\gamma$为实数时,信号衰减.虚数时信号传播,且波数为其虚部
矢量分解
这里有意地把纵横量分开了:
$$ \vec E = (\vec a_x E_x+\vec a_y E_y) + \vec a_z E_z$$
$$ \vec H = (\vec a_x H_x+\vec a_y H_y) + \vec a_z H_z$$
顺便把拉普拉斯算符$\nabla$也分开:
$$ \nabla_t^2 = (\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2})+ \frac {\partial^2}{\partial z^2}=\nabla^2_{xy}+\frac {\partial^2}{\partial z^2} $$
标量波动方程
将矢量分解的三个方程先带入(1.3)(1.4)再代入(1.1)(1.2),只截取纵向分量得:
$$\nabla^2_{xy}\vec E_z+(k^2+\gamma^2)\vec E_z=0$$
$$\nabla^2_{xy}\vec H_z+(k^2+\gamma^2)\vec H_z=0$$
再将上式改写成(1.3)(1.4)形式:
$$E_z(x,y,z) = E_z(x,y)E^{-\gamma z}$$
$$H_z(x,y,z) = H_z(x,y)H^{-\gamma z}$$
考虑麦克斯韦方程的旋度式:
$$\nabla \times \vec E=-j\omega \mu \vec H$$
$$\nabla\times\vec H =j\omega\varepsilon \vec E$$
联立上四式可得六个标量方程:
$$\frac{\partial E_z}{\partial y}+\gamma E_y = -j\omega \mu H_x \tag{标量1}$$
$$-\gamma E_x -\frac{\partial E_z}{\partial x}=-j\omega \mu H_y \tag{标量2}$$
$$\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial x}=-j\omega \mu H_z \tag{标量3}$$
千万不要慌,由麦克斯韦美好的对称性可以知道,我们只要算一对叉乘就可以了,由对称性:
$$\frac{\partial H_z}{\partial y}+\gamma H_y = j\omega \varepsilon E_x \tag{标量4}$$
$$-\gamma H_x -\frac{\partial H_z}{\partial x}=j\omega \varepsilon E_y \tag{标量5}$$
$$\frac{\partial H_y}{\partial x}-\frac{\partial H_x}{\partial x}=j\omega \varepsilon E_z \tag{标量6}$$
纵横关系式
联立以上六式可得(解这个会有点痛苦,但是这不重要)纵横关系式:
$$E_x = -\frac {1} {k_c^2}(\gamma\frac{\partial E_z}{\partial x}+j\omega\mu\frac{\partial H_z}{\partial y})\tag{e.x}$$
$$E_y = -\frac {1} {k_c^2}(\gamma\frac{\partial E_z}{\partial y}-j\omega\mu\frac{\partial H_z}{\partial x})\tag{e.y}$$
$$H_x = -\frac {1} {k_c^2}(\gamma\frac{\partial H_z}{\partial x}-j\omega\mu\frac{\partial E_z}{\partial y})\tag{h.x}$$
$$H_y = -\frac {1} {k_c^2}(\gamma\frac{\partial H_z}{\partial y}+j\omega\mu\frac{\partial E_z}{\partial x})\tag{h.y}$$
其中:
$$k_c^2=k^2+\gamma^2$$
如果不用书本的表示方法的话,你会发现一点公式的美学…
自此,纵向常量法就介绍完成了.这里的重点在于纵横关系式
各种导波的一般传输特性
概述
这一小节解决的问题是,某种电磁波要在波导中传输的存在可能性问题.重点有TEM,TE,TM波等.并且提供假设各种波存在的时候,怎么求解波动方程的思路.
TEM横电磁波
还是回到我们熟悉的波动方程,可以把上面的纵横关系式:
$$\nabla^2_{xy}E_z + k_c^2 E_z=0 \tag{波动1}$$
$$\nabla^2_{xy}H_z + k_c^2 H_z=0 \tag{波动2}$$
显然这一节的教材安排是不合理的…因为在TEM波中:
$$E_z=0,H_z=0$$
显然代入纵横关系式中,全军覆没……所以分析横电磁波的时候不能采用纵向常量法得到直接表达式
这时候我们可以代入得到纵横关系式前面一点的关系式中:
$$k_c^2=0\quad或\quad\gamma^2+k^2=0\tag{2.1}$$
$$\nabla^2_{xy}\vec E(x,y)=0 \quad \quad \nabla^2_{xy}\vec H(x,y)=0 \tag{tem}$$
那么我们就可以知道,代入纵横关系式会凉凉的原因是,(tem)他看上去就是一个静态场的方程,用麦克斯韦旋度式便变成0了.
这也启发我们,在求解TEM波动方程的时候,之需要先算出导波的横向分布函数,再乘以纵向传播因子$e^{-\gamma z}$就可以得到波动方程了.而且并不是每一种波导都会有TEM模.
存在条件
首先说明的一点是:空心波导只能传输TM或TE波,不能传输TEM波,因为在无外源的无限长导体空管中不可能存在静电场
书上P175,结合来看吧..(懒得打字)
TEM传播常数和相速
由(2.1)可知
$$\gamma=\alpha+j\beta =jk=j\omega \sqrt{\varepsilon \mu}$$
解得
$$\alpha =0 \quad,\quad \beta =\omega\sqrt{\varepsilon \mu}$$
所以相速为:
$$v=\frac {\omega}{\beta}=\frac1{\sqrt{\varepsilon \mu}}$$
可以看出TEM模导行波是与频率无关的非色散波
TEM的波阻抗
由(标量2)和(标量6)并代入TEM的定义式:
$$\gamma E_x=j\omega \mu H_y$$
$$\gamma H_y=j\omega \varepsilon E_x $$
代入$\gamma = j\omega\sqrt{\varepsilon \mu}$得(注意,求解不是联立.只要用其中一条代入就行了)
$$Z^{TEM}=\frac{E_x}{H_y}=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}=\eta$$
可以看出,$Z^{TEM}$和频率是没有关系的.
所以:TEM模在任何频率下都能传播非色散横电磁波
TE nor TM
在TM波中,$E_z \neq 0$和$H_z=0$.所以只需要代入(波动1),同理:
在TE波中,$H_z \neq 0$和$E_z=0$.所以只需要代入(波动2)
存在条件
可以看出,无论是哪一种,$k_c^2$都不会等于0,所以:
$$\gamma^2+k^2 \neq 0$$
被称为波导中TM波和TE波的存在条件。
传播常数和截止频率
由传播因子$e^{-j\gamma z}$可以知道，在$e^{-\gamma z}\to 0$时,传播截止.这个时候有$\gamma \to 1$
所以有:
$$\gamma=\sqrt{k^2_c-\omega_c^2 \varepsilon \mu}=0$$
解得:
$$f_c=\frac{k_c}{2\pi\sqrt{\varepsilon\mu}}$$
其中,$f_c$被称为截止频率或临界频率(c to cut),所以反过来求$\gamma$得:
$$\gamma=\begin{cases} jk\sqrt{1-(\frac{f_c}{f})^2}= j\beta \quad f>f_c \k_c\sqrt{1-(\frac{f_c}{f})^2}=\alpha\quad f<f_c \end{cases} $$
可以看出:
当$f<f_c$时,传播因子变成了$e^{-\alpha z}$,是一个衰减型凋落场
当$f>f_c$时,传播因子变成了$e^{-j\beta z}$,表示一个传播型色散行波
相速和波导波长
当$f>f_c$时,因为是一个色散波,我们可以来讨论一下他的相速,由上面:
$$\beta=k\sqrt{1-(\frac{f_c}{f})^2}$$
所以有,相速:
$$v_p=\frac\omega\beta=\frac{v}{\sqrt{1-(\frac{f_c}{f})^2}}>v$$
波导内波导行波的波长称为波导波长:
$$\lambda_g=\frac{2\pi}{\beta}=\frac{2\pi}{k}\frac1{\sqrt{1-(\frac{f_c}{f})^2}}=\frac\lambda{\sqrt{1-(\frac{f_c}{f})^2}} >\lambda$$
表明导行波是与频率有关的色散行波
波阻抗
TM波
由纵横关系式,结合tm波的特征可得:
$$E_x=-\frac{\gamma}{k_c^2}\bullet\frac{\partial E_z}{\partial x}$$
$$E_y=-\frac{\gamma}{k_c^2}\bullet\frac{\partial E_z}{\partial y}$$
$$H_x=\frac{j\omega\varepsilon}{k_c^2}\bullet\frac{\partial E_z}{\partial y}$$
$$E_y=-\frac{j\omega\varepsilon}{k_c^2}\bullet\frac{\partial E_z}{\partial x}$$
所以定义TM波的波阻抗为:
$$Z^{TM}=\frac{E_x}{H_y}=\frac{-E_y}{H_x}=\frac{\gamma}{j\omega\varepsilon}$$
消去$\gamma$得:
$$Z^{TM}=\begin{cases}\eta\sqrt{1-(\frac{f_c}{f})^2} =R^{TM},\quad \quad\quad\quad f>f_c \-j\frac{k_c}{\omega\varepsilon}\sqrt{1-(\frac{f_c}{f})^2}=-jX_c^{TM}, \quad f<f_c \end{cases}$$
TE波
按照TM波的套路,代入$E_z=0$得:
$$Z^{TM}=\begin{cases}\eta\frac1{\sqrt{1-(\frac{f_c}{f})^2}} =R^{TE},\quad \quad\quad\quad f>f_c \j\frac{\mu\omega}{k_c}\frac1{\sqrt{1-(\frac{f_c}{f})^2}}=jX_c^{TE},\quad \quad \quad f<f_c \end{cases}$$
互易性
由上面可以得出:
$$Z^{TM}\bullet Z^{TE}=\eta^2 =(Z^{TEM})^2$$
可以看到TE和TM波的波阻抗具有互易性
##矩形波导
这里也是要做纵横关系式求解的最后一步,代入边界条件
由前面就可以知道,矩形波导不能传播TEM波
首先假设矩形波导的数学模型:
长a宽b壁导体
先上一张图辅助一下大家后面看边界条件的法向还是切向
TM(图的右边)
边界条件:
$$(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+k_c^2)E_z(x,y)=0$$
$$\begin{cases}E_z|{x=0}=0,\quad E_z|{x=a}=0 \ E_z|{y=0}=0,\quad E_z|{y=b}=0\end{cases}$$
其中$k_c^2=\gamma^2+k^2$称为截止波数.
公式的意义是很明确的:
传播TM波的时候矩形波导的边界都没有电场强度
以下是我以为的原因(有异议可以评论,大家互相学习一下)
- 一个原因(一对边)在于,边界条件中,法向的电场强度连续,而理想导体内部没有电磁场
- 另一对边是因为,上一章说过的趋肤效应导致的,而由于是$\sigma=\infty$所以就为0了
纵向解
由于我们想求的纵横关系式中,x和y是独立分开的.所以假设:
$$E_z(x,y)=X(x)Y(y)$$
代入波动方程并化成常微分方程得:
$$\frac {d^2 X}{dx^2}+k_x^2 X=0$$
$$\frac {d^2 Y}{dx^2}+k_y^2 Y=0$$
其中:$\quad \quad k_c^2=k_x^2+k^2_y$
显然特征方程的根是两个纯虚数,故设通解:
$$X(x)=Asink_x x +Bcosk_x x$$
$$Y(y)=Csink_y y +Dcosk_y y$$
分别代入边界条件可得(书上P176):
$$E_z(x,y)=E_0 sin\frac{m\pi}{a}x sin \frac{n\pi}{b}y,\quad m,n=1,2,3……$$
其中:$\quad\quad \quad E_0=AC$由激励源强度确定
大概的思路是先带入x=0和y=0那两条,算出B,D=0再代入剩下两条即可.
横向解
现在求出了$E_z$的表达式,显然,代入一般情况可得:
$$E_x=-\frac{\gamma}{k_c^2}(\frac{m\pi}{a})E_0 cos\frac{m\pi}{a}xsin\frac{n\pi}{b}y$$
$$E_y=-\frac{\gamma}{k_c^2}(\frac{n\pi}{b})E_0 sin\frac{m\pi}{a}xsin\frac{n\pi}{b}y$$
$$H_x=\frac{j\omega\varepsilon}{k_c^2}(\frac{n\pi}{b})E_0 sin\frac{m\pi}{a}xcos\frac{n\pi}{b}y$$
$$H_y=\frac{j\omega\varepsilon}{k_c^2}(\frac{m\pi}{a})E_0 sin\frac{n\pi}{b}xcos\frac{m\pi}{a}y$$
其中:
$$k_c=\sqrt{\gamma^2+k^2}=\sqrt{k_x^2+k_y^2}=\sqrt{(\frac{m\pi}{a})^2+(\frac{n\pi}{b})^2}$$
由TE,TM的存在条件可以知道,当m=n=0时,方程无意义
###TE(图的左边)
由于和TM是同一个套路,这里就直接给公式了:
边界条件
$$(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+k_c^2)H_z(x,y)=0$$
$$\begin{cases}H_z|{x=0}=0,\quad H_z|{x=a}=0 \ H_z|{y=0}=0,\quad H_z|{y=b}=0\end{cases}$$
纵向解
$$H_z(x,y)=H_0 cos\frac{m\pi}{a}x cos\frac{n\pi}{b}y,\quad m,n=1,2,3……$$
横向解
$$E_x=\frac{j\omega\varepsilon}{k_c^2}(\frac{n\pi}{b})H_0 cos\frac{m\pi}{a}xsin\frac{n\pi}{b}y$$
$$E_y=-\frac{j\omega\varepsilon}{k_c^2}(\frac{m\pi}{a})H_0 sin\frac{m\pi}{a}xcos\frac{n\pi}{b}y$$
$$H_x=\frac{\gamma}{k_c^2}(\frac{m\pi}{a})H_0 cos\frac{n\pi}{b}ysin\frac{m\pi}{b}x$$
$$H_y=\frac{\gamma}{k_c^2}(\frac{n\pi}{b})H_0 sin\frac{m\pi}{a}xsin\frac{n\pi}{b}y$$
同理:m=n=0时,公式无意义
横场分布的物理特性
这里对应的是P178,下面列举出来只作复习回想用:
- 沿x,y的驻波性和z向的行波性
- 平面波的非均匀性
- 场的多模性
- 模式的兼并性
- 模式的阶次性
导波的纵场传输特性*
截止性(高通特性)
之前在一般传输特性就讲过这个问题,只是k可以由m和n给出,所以回代得:
$$k_c=\sqrt{\gamma^2+k^2}=\sqrt{k_x^2+k_y^2}=\sqrt{(\frac{m\pi}{a})^2+(\frac{n\pi}{b})^2}$$
$$ f_c-\frac{k_c}{2\pi \sqrt{\varepsilon\mu}}=\frac1{2\sqrt{\varepsilon\mu}}\sqrt{(\frac ma)^2+(\frac nb)^2} $$
$$ \lambda_c=\frac{2\pi}{k_c}=\frac2{\sqrt{(\frac ma)^2+(\frac nb)^2} } $$
色散性和滤波性
由上一个性质可以知道,在截取频率之前的波形都会因为传播常数的实部不为0而全部被去掉
所以当f>$f_c$时($\alpha=0$):
$$\beta=\sqrt{\omega^2\varepsilon\mu-(\frac{m\pi}{a})^2-(\frac{n\pi}{b})^2}$$
$$\lambda_g=\frac{2\pi}{\beta}=\frac{2\pi}{\sqrt{\omega^2\varepsilon\mu-(\frac{m\pi}{a})^2-(\frac{n\pi}{b})^2}}$$
$$v_p=\frac{\omega}{\beta}=\frac{\omega}{\sqrt{\omega^2\varepsilon\mu-(\frac{m\pi}{a})^2-(\frac{n\pi}{b})^2}}$$
阻抗双重性
这个由截止性就知道,低于截止频率的波阻抗呈阻性,高于的呈电抗性:
$$Z^{TM}=\frac{\gamma}{j\omega\varepsilon}=\begin{cases}\frac1{\omega\varepsilon}\sqrt{\omega^2\varepsilon\mu-(\frac {m\pi}{a})^2-(\frac{n\pi}{b})^2}=R^{TM},\quad\quad \quad\quad f>f_c\
-j\frac1{\omega\varepsilon}\sqrt{(\frac{m\pi}{a})^2+(\frac{n\pi}{b})^2-\omega^2\varepsilon\mu}=-jX_c^{TM},\quad \quad f<f_c\end{cases}$$
$$Z^{TE}=\frac{j\omega\mu}{\gamma}=\begin{cases}\frac1{\omega\mu}\frac1{\sqrt{\omega^2\varepsilon\mu-(\frac {m\pi}{a})^2-(\frac{n\pi}{b})^2}}=R^{TM},\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad f>f_c\
j\omega\mu\frac1{\sqrt{(\frac{m\pi}{a})^2+(\frac{n\pi}{b})^2-\omega^2\varepsilon\mu}}=jX_c^{TM},\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad f<f_c\end{cases}$$
主模$TE_{10}$的传输特性
用主模传输的重点问题在于单模传输 单模传输 单模传输 单模传输
场分布
至于为什么$TE^{10}$是主模的话,就不说了,你只要把 m,n的各个值代进去纵横关系式,就可以知道了
$$E_y=\frac{\omega\mu a}{\pi}H_0sin{\frac{\pi}ax}cos(\omega t-\beta z-\frac\pi2)$$
$$H_x=\frac{\beta a}{\pi}H_0sin{\frac{\pi}ax}cos(\omega t-\beta z+\frac\pi2)$$
$$H_z=H_0cos\frac\pi a xcos(\omega t-\beta z)$$
…其他三个为0…
传输特性
根据前面说的那些,代入m=1,n=0得:
$$f_c=\frac1{2a\sqrt{\varepsilon\mu}}$$
$$\lambda_c=2a$$
$$\beta=k\sqrt{1-({\frac {f_c}{f}})^2}=\sqrt{\omega^2\varepsilon\mu-(\frac{\pi}{a})^2}$$
$$\lambda_g=\frac{2\pi}{\beta}=\frac{2\pi}{k}\frac1{\sqrt{1-({\frac {f_c}{f}})^2}}=\frac{2\pi}{\sqrt{\omega^2\varepsilon\mu-(\frac{\pi}{a})^2}}$$
$$v_p=\frac{\omega}{\beta}=\frac v{\sqrt{1-({\frac {f_c}{f}})^2}}=\frac{\omega}{\sqrt{\omega^2\varepsilon\mu-(\frac{\pi}{a})^2}}$$
$$Z^{TE}=\eta\frac1{\sqrt{1-({\frac {f_c}{f}})^2}}=\omega\mu\frac1{\sqrt{\omega^2\varepsilon\mu-(\frac{\pi}{a})^2}}$$
结语
因为这里写了比较多的波动方程,所以会有点长!