通信原理教程chapter2(下)
假期著
教材用的是《通信原理教程》(第三版)–樊昌信著
应不知名网友的建议,这篇blog以公式为主.但因为是基础章节,又不免多写了点字..
[TOC]
随机过程
定义:随机过程可以看成是由一个事件A的全部可能“实现”构成的总体,记为X(A,t).
随机过程的统计特征
- 平均值:
$$E[X(t_i)] = \int^{\infty}{-\infty} x p{x_i}(x)dx = m_X(t_i)$$ - 方差:
$$D[X(t_i)] = E { X(t_i) - E[X(t_i)] }^2$$ - 自相关函数;
$$R_X(t_1,t_2) = E[X(t_1)X(t_2)]$$
平稳随机过程
定义:若一个随机过程X(t)的统计特性与时间起点无关,则称此随机过程是在严格意义上的平稳随机过程,简称严格平稳随机过程.
显然,要实现所有统计特性与时间起点无关是困难的,那么我们就有:
广义随机过程:
定义:若一个随机过程X(t)的平均值,方差和自相关函数与时间起点无关,则称其为广义平稳随机过程.
只要我们想要的符合就行了,即:
$$E[X(t)] = m_X = constant$$
$$D[X(t_i)] = E { X(t_i) - E[X(t_i)] }^2 = constant$$
$$R_X(t_1,t_2) = R_X(t_1 - t_2 ) = R_X(\tau)$$
其中 $\tau = t_1 -t_2$ ,说明R跟t1和t2的大小无关系,只跟他们的差值有关系
各态历经性
定义:各态历经性表示一个平稳随机过程的一个实现能够经历此过程的所有状态
他会带来一个很好用的性质:
能用时间平均代替统计平均
也就是:
$$m_X \equiv \lim_{T\rightarrow \infty} \frac1T \int^{T/2}{-T/2} X_i(t)dt$$
$$R_X(\tau) \equiv \lim{T\rightarrow \infty} \frac1T \int^{T/2}_{-T/2} X_i(t)X_i(t+\tau)dt$$
这个概念重在理解,文末写了点,仅供参考
矩与信号特性的结合
重点
| 矩(中文) | 对应矩符号 | 对应信号意义 |
| :—–: | :—–: | :——: |
| 一阶原点矩 | $m_X = E[X(t)]$ | 直流分量 |
| 一阶原点矩的平方 | $m_X^2$ | 直流分量的归一化功率 |
| 二阶原点矩 | $E[X^2(t)]$ | 归一化平均功率 |
| 二阶原点矩的平方根 | $\sqrt{E[X^2(t)]}$ | 信号的均方根值(有效值) |
| 二阶中心矩 | $\sigma^2_X$ | 交流分量的归一化功率 |
| 标准偏差 | $\sigma_X$ | 交流分量的均方根值 |
再论自相关函数
加入了平稳随机过程之后,前面讲到了各种均值,方差所对应的物理意义,现在就来对应一下自相关函数.
性质
简单明了,问题不大
- $$R(0) = E[X^2(t)] = P_X$$
- $$R(\tau) = R(-\tau)$$
- $$|R(\tau) \leq R(0)|$$
- $$R(\infty) = E^2[X(t)]$$
- $$R(0) - R(\infty) = \sigma_X^2$$
功率谱密度
因为一个功率信号(特别是没周期性的),是没办法直接做傅里叶变换的,所以如果我们想知道他的频谱分布的话,必须得先进行截断,然后在进行傅里叶变换,所以我们定义:
$$P(f) = \lim_{T\rightarrow \infty} \frac{|S_T(f)|^2}{T}$$
为功率谱密度,其中$S_T(f)$为功率信号s(t)截断后的频谱分布.
现在我们用随机过程X(t)来充当这个s(t),那么相应地考察功率谱密度就变成了一个期望值,即:
$$P_X(f) = E[P(f)] = \lim_{T\rightarrow\infty} \frac{|S_T(f)|^2}{T}$$
这里先直接往下推导,如果先求得这个,我们就得对后式进行化简,不一一讲解,过程如下:
$$\frac{|S_T(f)|^2}{T} =E[\frac1T \int^{T/2}{-T/2}s_T(t)e^{-j\omega t}dt \int^{T/2}{-T/2}s_T\ast(\hat{t})e^{-j\omega \hat{t}}d\hat{t}] $$
$$\quad\quad\quad\quad =E[\frac1T \int^{T/2}{-T/2}s(t)e^{-j\omega t}dt \int^{T/2}{-T/2}s(\hat{t})e^{-j\omega \hat{t}}d\hat{t}] $$
$$\quad\quad\quad\quad =E[\frac1T \int^{T/2}{-T/2}\int^{T/2}{-T/2}s(t)s(\hat{t}) e^{-j\omega (t-\hat{t})}dtd\hat{t}]$$
由平稳随机过程自相关函数的定义
$$\frac{|S_T(f)|^2}{T} =\frac1T \int^{T/2}{-T/2}\int^{T/2}{-T/2}R(t-\hat{t})e^{-j\omega (t-\hat{t})}dtd\hat{t}$$
变量代换,放到原式:
$$P_X(w)=\lim_{ T \rightarrow\infty}\int^{T}{-T}\int^{\frac{T}{2}-\tau}{\frac{-T}{2}-\tau}R_X{(\tau)}e^{-jw\tau}d\tau dt_2$$
$$=\lim_{ T \rightarrow\infty }\frac{1}{T}{ \int^{T}{0}\int^{\frac{T}{2}-\tau}{-\frac{T}{2}-\tau}R_X{(\tau)}e^{-jw\tau}d\tau dt_2 + \int^{0}{-T}\int^{\frac{T}{2}+\tau}{-\frac{T}{2}-\tau}R_X{(\tau)}e^{-jw\tau}d\tau dt_2 }$$
$$= \lim_{ T \rightarrow\infty }\frac{1}{T}{ \int^{T}{0}(T-\tau)R_X{(\tau)}e^{-jw\tau}d\tau +\int^{0}{-T}(T+\tau)R_X{(\tau)}e^{-jw\tau}d\tau }$$
$$=
\lim_{ T \rightarrow\infty}{ \int^{T}{0}(1-\frac{\tau}{T} )e^{-jw\tau}d\tau + \int^{0}{-T}(1+\frac{\tau}{T} )e^{-jw\tau}d\tau$$
$$=
\lim_{ T \rightarrow\infty} {\int^{T}_{-T} (1-\frac{|\tau|}{T})R_X{(\tau)}e^{-jw\tau}d\tau }$$
$$= \int_{-\infty}^{\infty}R_X (\tau)e^{-jw\tau}d\tau$$
这个证明是较为广泛流传的一个证明,但我个人不太喜欢,最近在看他1930年的论文是怎么证明的,如有新的结果在贴出来吧.
得到的结果令人震撼,就是功率谱密度和自相关函数是一对傅里叶变换对.,即:
$$P_X(f) = \int^\infty_{-\infty} R(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$$
$$R(\tau) = \int^{\infty}_{-\infty}P_X(f)e^{j\omega\tau}df$$
这也是大名鼎鼎的维纳－辛钦定理
重点在于他是建立在傅里叶变换上的,也就是说,这个关系仅仅适用于平稳信号.
这里有一个重点要掌握的就是白噪声的各种计算,由于过于简单,大家自己看书吧.
高斯过程
这里老师只让记住一个结论:高斯随机过程通过线性系统后输出任为高斯随机过程
这里的话,可以联系一个概率论里面的中心极限定理
但是后面我会补上一篇博客(还没写完),给大家介绍一下:
- 贝塞尔函数
- 协方差
- 高斯过程
- 短时傅里叶变换
- 莱斯分布
- 相位延迟与群响应
- 离散余弦变换
- 等
一些正常一点点的常识,不过大家先打个底,我写课外的东西的话,八九不离十是天书+数学公式…
所以这里先跳过
信号与系统(下)
这一部分主要讲信号通过系统
确知信号通过系统
这个就是信号与系统学的东西.讲了也多余.
主要记住的是:
无失真传输条件:
幅度常数,相位线性.即:
$$y(t) = kx(t-t_d) \quad\quad \frac{d\theta}{d\omega} = t_d$$
随机信号通过线性系统
虽说不要讲太多的东西,但在这里还是想阐明一下信号与系统和平稳随机过程的问题.其实我们需要意识到一点就是:以我们所学的仅有的信号与系统的知识,是没办法解决非平稳信号的.理由也很简单,因为傅里叶变换在频域幅度谱上面是没有时间信息的,更多的内容后在后面的blog里面讲到.你可以回想一下,我们怎么才能在连续(时间内)观察一个信号的频谱呢?
下面接回课本:
这里说的其实很简单,就是把原来的信号改成随机过程的期望就完事了.
$$E[Y(t)] = E[\int^\infty_{0}h(\tau)X(t-\tau)d\tau] = \int^\infty_{0}h(\tau)E[X(t-\tau)]d\tau $$
由平稳随机过程:
$$E[X(t-\tau)]=E[X(t)] = k , k=constant$$
提到积分号后面来:
$$E[Y(t)] = k\int^\infty_{0}h(\tau)d\tau$$
由傅里叶变换:
$$ \int^\infty_{0}h(\tau)d\tau = H(0) $$
回代得:
$$E[Y(t)] = k H(0)$$
还有两条和自适应函数相关公式:
$$R_Y(t_1,t_1+\tau) = R_Y(\tau)$$
$$P_Y(f) = |H(f)|^2P_X(f)$$
结语
关于blog
这个第二章太长了,也启发了我,如果想写理解的话不能顺着书讲,下次可能会尝试新的思路去构blog的思路.也许不会面面俱到了.但是总感觉通信原理需要和电磁场有一点点学法上的不同.我觉得通信原理更重要把握的是一些基本思想,一些工程手段.而不是像电磁场那样掌握个公式,然后用麦克斯韦穿针引线就搞定了,再加上我觉得通信原理比电磁场简单几十倍…
关于第二章
其实这本书的逻辑结构和大多数教材差不多,都是在讲这门课之前,先要帮你回顾和结合之前一些你学过的课程,只是这门课所需的基础有点多,才要写到两章而已..这章主要主要回顾和结合信号与系统和概率论,而如果看过奥本海默的信号与系统和自学过概率论课程没讲的内容的同学….这章几乎是不用学的…
关于随机过程的一点点理解
其实我觉得蛮好解释的,就相当于一百个人会有一百种人生,当你死去之后,你的每一个时间点所做的东西是固定的,真正随机的是你在活的过程中的经历,体会,这才构成了你的随机过程X(A,t)里面的A.
各态历经的话,你可以想想一个复联3里面的一个情节:奇异博士看了1400万次复联4的结局都是失败的,只有一个结局是成功的.统计平均是建立在同一个时刻上的统计,比方说是灭霸打响指前的那一个时刻,来统计判断这个时刻革命是成功还是失败了.时间平均是很简单粗暴的等隔抽样求均值.比方说我就看你某个复联4的结局的一些关键节点来判断就完事了.各态历经性说的时间平均代替统计平均就是,我看着看着都知道我凉了,不用真的到凉的那一个时刻才让你告诉我我凉了.
当然了,在纯理性的结论面前,任何比喻都是失妥的,大家看看就好…