信号与系统笔记

author:何伟宝

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序列

序列的表示5e 4

图形:
函数解析式:
$$ y[k] = f_1[k]+f_2[k]+f_3[k]+ \cdots f_n[k] $$
列表表示:
$$ y[n] = {0,1,2,\bar{3},4,5,6,7,8,9} $$
其中取有箭头(下箭头)的为序列的起点(即n=0点)

序列的变换

序列的平移

用表达式的写法就是:
$$ y[n] = x[n-n_0] $$

序列的反转

用表达式的写法就是:
$$ y[n] = x[-n] $$

序列的尺度变换

压缩时:
$$ y[n] = x[2n] $$
展宽时:
$$ y[n] = x[n/2] $$

实际上,书本上在这里举例的时候用了模拟信号,因为在数字序列中,这个操作又名为:抽取和内插.

序列运算

1.2.3. 翻转,位移,尺度变换见前

相加和相乘
$$ y[k] = f_1[k]+f_2[k]+f_3[k]+ \cdots f_n[k] $$
$$ y[k] = f_1[k]\cdot f_2[k]\cdot f_3[k] \cdots f_n[k] $$
差分
a.前向差分:
$$ \triangle f[k] = f[k+1] -f[k] $$
b.后向差分
$$ \triangledown f[k] = f[k] - f[k-1] $$

求和
$$ y[k] = \sum^{k}{n=-\infty }f[n] $$
举个比较重要的例子:
$$ u[k] = \sum^{k}{n=-\infty }\delta[n] $$
卷积和

连续上:
$$ y(t) = f(t)\ast h(t) = \int^{\infty}{\infty}f(\tau)h(t-\tau) d\tau $$
离散上:
$$ y[n] = \sum^{+\infty}{k=- \infty}x[k]h[n-k] $$
计算的步骤:
1.翻转2. 平移3. 相乘4. 累加

相关
连续上:
$$ \phi_{xy}(t) = \int ^{\infty}{-\infty} x(t+\tau) y(\tau)d \tau $$
离散上:
$$ r{xy}[n] = \sum ^{\infty}{-\infty} x[n] y[n + m]$$
举个较为简单的例子:周期函数的自相关函数
$$ r_x(m+N) = \frac1N\sum ^{N}{n=0} x(n) x(n-m-N) = \frac1N\sum ^{N}_{n=0} x(n) x(n-m) = r_x(m) $$

几个较为重要的序列

单位脉冲序列

$$ \delta[n] = \begin{cases} 0, \quad n\neq 0 \1,\quad n=0 \end{cases} $$

单位阶跃序列

$$ u[n] = \begin{cases} 0, \quad n< 0 \1,\quad n\geq 0 \end{cases} $$

上述两种序列的关系:
单位脉冲序列是单位阶跃序列的一次差分:
$$ \delta [n] = u[n] -u[n-1] $$

单位阶跃序列是单位脉冲序列的求和函数:
$$ u [n] = \sum^n_{m=-\infty}\delta[m] $$

值得一提的是,可以使用移位脉冲序列来描述任意一个序列中的一位:
$$ x[n] = \sum^{+\infty}_{k=- \infty}x[k]\delta[n-k] $$
当然,这也称为单位脉冲序列的筛选特性,当然,这也可以看成…

矩形序列

$$ R_N[k] = u[k] -u[k-n_0] $$

DTFT(Discrete-time Fourier Transform)

定义

DTFT:
$$ X(e^{j\Omega}) = \sum^{+\infty}{n=- \infty} x[n] e^{-j\Omega n} $$
iDTFT:
$$ x[n] = \frac1{2\pi} \int{2\pi } X(e^{j\omega})e^{j\Omega } d\Omega $$

举个例子:考虑单边信号$x[n] = a^n u[n]$的DTFT:
$$ X(e^{j\Omega}) = \sum^{+\infty}_{n=- \infty} a^n u[n] e^{-j\Omega n} = \sum^{+\infty}_0 (ae^{-j\Omega})^n = \frac{1}{1-ae^{-j\Omega}}$$

最后一步由底数小于1的等比数列求和得到

性质

较多,故不作证明

周期性
$$ X(e^{j(\Omega+2\pi)}) = X(e^{j\Omega}) $$
线性性质
$$ ax_1[n] +bx_2[n] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} aX_1(e^{j\Omega})+bX_2(e^{j\Omega})$$
时移与频移
$$ x[n-n_0] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} e^{-j\Omega n_0}X(e^{j\Omega})$$
$$ e^{-j\Omega_0 n}x[n] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(e^{j(\Omega-\Omega_0})$$
共轭与共轭对称性
因为上课强调过,并且给了作业,就在这里详述一下

如果有
$$ x[n] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(e^{j\Omega}) $$
则序列的共轭有:
$$ x^{\ast}[n] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X^{\ast}(e^{-j\Omega}) $$
在这个情况下,如果x[n]是一个实序列,则虚部不存在,则有:
$$ X(e^{j\Omega}) = X^{\ast}(e^{-j\Omega}) $$
所以很容易就可以得到,他的DTFT的实部是偶函数,而他的虚部是奇函数.
同理易得,他的模是偶函数,他的相角是奇函数

差分与累加
$$ x[n] -x[n-1] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} (1 - e^{-j\Omega})X(e^{j\Omega}) $$
实际上,考虑信号:$y[n] = \sum^n_{m=-\infty}x[m]$
他的傅里叶变换,可以用上面的式子得出:
$$ y[n] = \sum^n_{m=-\infty}x[m] = \frac1{1 - e^{-j\Omega}}X(e^{j\Omega}) + \pi X(e^{j0})\sum^{+\infty}_{-\infty}\delta(\Omega-2\pi k) $$
时间反转
$$ x[-n] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(e^{-j\Omega}) $$
时域扩展
$$x_{(k)}[n] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(e^{jk\Omega}) $$
频域微分
$$ nx[n] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} j\frac{X(e^{j\Omega})}{d\Omega} $$
帕斯瓦尔定理
$$ \sum^{+\infty}{n=-\infty} |x[n]|^2 = \frac1{2\pi}\int{2\pi}|X(e^{j\Omega})|^2d\Omega$$
卷积性质相乘性质

对于$ y[n] = x[n]\ast h[n] = \sum^{+\infty}_{k=- \infty}x[k]h[n-k] $有:
$$ Y(e^{j\Omega}) = X(e^{j\Omega}) H(e^{j\Omega}) $$

当考虑$y[n] = x_1[n]x_2[n]$时,有:
$$ Y(e^{j\Omega}) = \frac1{2\pi}\int_{2\pi}X_1(e^{j\theta})X_2(e^{j(\Omega-\theta)})d\theta$$

对偶性
当然这是一个很重要的性质,但是这里更多的是理解,看书吧

Z变换

定义

$$ X(z) \triangleq \sum^{+\infty}_{n=- \infty} x[n] z^{-n} $$
$$ x[n] = \frac1{2\pi j} \oint X(z)z^{n-1} dz $$

性质

线性性质
$$ ax_1[n] +bx_2[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} aX_1(z)+bX_2(z)$$
时移性质
$$ x[n-n_0] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} z^{-n_0}X(z)$$
z域尺度变换
$$ z_0^n x[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X(\frac z{z_0})$$
时间反转
$$ x[-n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X(\frac1z) $$
时域扩展
$$x_{(k)}[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X(z^k) $$
共轭
如果有
$$ x[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X(z) $$
则序列的共轭有:
$$ x^{\ast}[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X^{\ast}(z^{\ast}) $$
卷积性质

$$ x_1[n]\ast x_2[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X_1(z)X_2(z) $$
8. 频域微分
$$ nx[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} -z\frac{X(z)}{dz} $$
9. 初值定理
当n<0时,x[n]=0,则
$$ x[0] = \lim_{z\rightarrow \infty} X(z) $$
10. z变换本身的性质(时间问题,只做简述)
a.稳定性:极点在单位圆里面
b.因果性:系统函数的收敛域在某个圆的外边,且包括无限远点

系统

在上面的基础上,这里就只做简述吧

系统的特性

针对线性移不变系统,其中线性有:

其次性
叠加性
移不动指的是,输入移一位,输出也跟着移一位,不会有什么妖魔鬼怪
稳定性
$$ |h(t)|<\infty $$
因果性
$$ h(t)=0 ,t<0 $$
相应用z变换判断的在上头
系统的表示
框图
差分方程
系统单位脉冲响应h[k]
系统频率响应$H(j\omega)$
系统函数H(z)

相应的转换关系:

差分方程to系统函数:
已知差分方程:
$$ \sum^n_{i=0} a_iy[k-i] = \sum_{j=0}^m b_jf[k-j] $$
对其求z变换得:
$$ \sum^n_{i=0} a_iz^{-i}Y_f(z)= \sum_{j=0}^m b_j z^{-i} F[z] $$
所以系统函数为:
$$ H(z) = \frac{Y_f(z)}{F(z)}= \frac{\sum_{j=0}^m b_j z^{-j}}{sum^n_{i=0} a_iz^{-i}}$$
系统函数to系统单位脉冲响应h[k]
$$H(z) = \frac{Y_f(z)}{F(z)} =\mathcal{Z}{ h[k] } $$
系统函数to系统频率响应
对因果系统,且系统稳定时:
$$ H(e^{j\Omega}) = H(z)|_{z=e^{j\Omega}} = |H(e^{j\Omega}) | e^{j\varphi (\Omega)} $$
系统函数to框图
1. 先将系统函数化成零极点形式
2. 按照零点系数和阶数画前馈通路
3. 按照极点系数和阶数画后馈通路

已知未完善地方

z变换本身的性质写得不多
没介绍模拟的奇异信号及其性质